Laboratorio 6 [ Automatizacion ]

Para esta semana se selecciono un problema del capitulo 11 del libro Ingenieria de control moderna de Ogata:

Vamos a analizar la observabilidad y controlabilidad del sistema:

El problema dice:
Considerar el sistema definido por:

$\begin{bmatrix} \dot{x} _{1}\\ \dot{x} _{2}\\ \dot{x} _{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0& 2 &0 \\ 0& 3 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {x} _{1}\\ {x} _{2}\\ {x} _{3} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 &1\\ 1& 0\\ 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \upsilon_{1} \\ \upsilon_{2}\\ \end{bmatrix} $

$ \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} X_{1}\\ X_{2}\\ X_{3} \end{bmatrix} $

¿El sistema de estado es  completamente controlable y observable por completo? 

¿El sistema tiene una salida realmente controlable ?

Solucion:

Vamos a resolverlo usando Octave utilizaremos la funcion rank que lo que hace es proporcionar una estimación del número de filas linealmente independientes o columnas de una matriz completa.

Despues usaremos las formulas correspondientes 

Observabilidad 

El sistema es observable si la matriz de observabilidad tiene un rango = n y su determinante es diferente de cero.

Controlabilidad

El sistema es controlable si la matriz de controlabilidad tiene un rango máximo

lo primero que haremos sera pasar los valores de la matriz a octave

A = [2 0 0;0 2 0 ;0 3 1];

B = [0 1;1 0;0 1];

C = [1 0 0;0 1 0];

D = [0 0;0 0];

Vamos a hacer los calculos.

rank([B A*B A^2*B])

rank([A'*C' A'^2*C'])

rank([C*B C*A*B C*A^2*B])

Lo que nos da octave:

Conclusion:

• A partir de las condiciones  obtenidas por  rank() anteriormente y las condiciones de las formulas, entonces concluimos que el sistema  es completamente controlable, pero no al todo observable, 
• Tiene una salida totalmente controlable la dimension del vector de salida es 2 en el sistema actual . 

Codigo completo: 
Referencias
http://es.wikipedia.org/wiki/Observabilidad
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