automatizacion: septiembre 2012

martes, 18 de septiembre de 2012

[Lab 3 ] Diagrama de Flujo de Señales

Se selecciono un ejercicio del libro de Ingeniería de control moderna de Ogata 4 Ed. entonces el ejercicio dice que tenemos que obtener la transferencia :

$\frac{y(x)}{x(s)}$ del sistema mostrado a continuación:

Figura 3-92

Vamos a comenzar primero analizamos el sistema y se puede observar que existen 2 caminos entre la entrada y la salida

$\frac{y(x)}{x(s)}$
$p_{1}=\frac{b_{2}}{s^{2}}= \frac{1}{s}\frac{1}{s}b_{2}$
$p_{2}=\frac{b_{1}}{s}=\frac{1}{s}b_{1}$ Ahora determinamos los lazos que existen en el sistema.
$L_{1}=-\frac{a_{1}}{s}$
$L_{2}=-\frac{a_{2}}{s_{2}}$ Se tiene que obtener el determinante Δ ,se realiza una suma:
$\Delta =1-(L_{1}+L_{2})$ se sustituyen las variables en la ecuaciones:
$\Delta =1-(\frac{a_{1}}{s}+\frac{a_{2}}{s_{2}})$
$\Delta =\frac{s^{2}+a_{1}s+a^{2}}{s^{2}}$ Entonces:
$\Delta a_{1}=1 , \Delta a_{2}=1$ Usamos la Fórmula de Mason para obtener y(s)/x(s)

http://elisa.dyndns-web.com/~elisa/teaching/sys/control/flujo.pdf

se obtiene la función de transferencia :

$\frac{y(s)}{x(s)}=\frac{1}{\Delta }(P_{1}\Delta _{1}+P_{2}\Delta_{2})$

$ \frac{s^{2}+a_{1}s+a^{2}}{s^{2}}$

$\frac{s^{2}+a_{1}s+a^{2}}{s^{2}}\left ( \frac{b_{2} }{s^{2}}+ \frac{b_{1}}{s}\right)$ y se obtiene el resultado:

$\frac {b_{1}s+b_{2}}{s^2+a_{1}s+a_{2}}$ http://elisa.dyndns-web.com/~elisa/teaching/sys/control/flujo.pdf Ingeniería de Control Moderna - Katsuhiko Ogata

jueves, 6 de septiembre de 2012

Instalar LaTeX en Blogger

$\mathbf{L\!\!^{{}_{\scriptstyle A}} \!\!\!\!\!\;\; T\!_{\displaystyle E} \! X}$ (escrito LaTeX en texto llano) es un sistema de composición de textos, orientado especialmente a la creación de libros, documentos científicos y técnicos que contengan fórmulas matemáticas.

LaTeX está formado por un gran conjunto de macros de TeX, escrito por Leslie Lamport en 1984, con la intención de facilitar el uso del lenguaje de composición tipográfica, $\mathbf{T\!_{\displaystyle E} \! X}$ , creado por Donald Knuth. Es muy utilizado para la composición de artículos académicos, tesis y libros técnicos, dado que la calidad tipográfica de los documentos realizados con LaTeX es comparable a la de una editorial científica de primera línea.

Lo primero que tenemos que hacer es :

Nos vamos a Diseño

Seleccionamos Edicion HTML y vamos a continuar

Pegamos el siguiente codigo despues de <head> se muestra en la imagen

-----------Para Ingresar ecuaciones en latex solo hay que poner "$"

Ejemplo:

$\tan \left ( x \right )$

Ejemplo 2

$\dfrac {2x^{2}} {4}$

Laboratorio 2 Problema del libro

Se selecciono el problema Problema B.2.15

$F(s) =\dfrac {4y^{2}-7y+12} {y\left( y+2\right) \left( y-3\right) }$

Resolviendo con Octave

[R,P,K]=residue(num,den)

http://roberto-mtz.blogspot.mx/search/label/Automatizaci%C3%B3n%20y%20control%20de%20sistemas%20din%C3%A1micos

Vamos a calcular la descomposición de factores simples del cociente numerador entre el denominador

R = Residuos
P = Polos
K = Cociente

1.-Resolver por fracciones parciales usando Matlab en este caso se uso Octave
----

Sustituimos cada valor obtenido por octave en la ecuación:

Mas adelante comprobaremos los resultados

2.-Transformada inversa de Laplace de F(s)

Para resolverlo usaremos las tablas del libro Ingeniería de control moderna solo es de sustituir :

$\frac{-2}{y}+{\frac{4.2}{y+2}}+{\frac{1.8}{y-3}}= -2+4.2e^{-2t}+1.8e^{3t}$

Vamos Hacerlo paso por paso:

--------------------------------

$F(s) =\dfrac {4y^{2}-7y+12} {y\left( y+2\right) \left( y-3\right) }$

Se va a descomponer por fracciones parciales

$\dfrac {4y^{2}-7y+12} {y\left( y+2\right) \left( y-3\right) }=\frac{A}{y}+\frac{B}{(y+2)}+\frac{C}{(y-3)}$

Se multiplica cada uno de las fracciones por :

$y(y+2)(y-3)$

El resultado seria:
$y(y+2)(y-3)\left [ \frac{A}{y}+\frac{B}{(y+2)}+\frac{C}{(y-3)}\right ]$

Despues

$A(y+2)(y-3)+By(y-3)+Cy(y+2)=4y2-7y+12$

$A(y^{2}-3y+2y-6)+By^{2}-3By+Cy^{2}+2Cy=4y^{2}-7y+12$

$Ay^{2}-3Ay+2Ay-6A+By^{2}-3By+Cy^{2}+2Cy=4y^{2}-7y+12$

$y^{2}(A+B+C)-Ay-3By+Cy^{2}+2Cy-6A=4y^{2}-7y+12$

Buscamos los valores:

A+B+C=4
-A-3B+2C=-7
-6A=12
A=12/6
A=-2
Por lo que el valor de A vale -2

Multiplicamos para eliminar una variable del sistema de ecuaciones:
3(A+B+C)=3(4)
3A+3B+3C=12
-3A-3B+2C=-7
2A+5C=5
5C=5-2(-2)
C=9/5
Por lo que el valor de C vale 1.8

B=4-C-A
B=4-(1.8)-(-2)
b=4.2
Por lo que el valor de b vale 4.2

Sustituyendo los valores obtenemos los mismos valores que nos dio octave:
A=-2
B=1.8
C=4.2
$F(s) =\frac{-2}{y}+{\frac{4.2}{y+2}}+{\frac{1.8}{y-3}}$

Transformada Inversa de Laplace:

$\frac{-2}{y}+{\frac{4.2}{y+2}}+{\frac{1.8}{y-3}}= -2+4.2e^{-2t}+1.8e^{3t}$

Se uso un Script para Blogger para escribir las ecuaciones enLaTeX realice un tutorial lo pueden encontrar en mi blog es facil de usar.

Referencias.
Ingeniería de Control Moderna:
http://books.google.com.mx/books/about/Ingenier%C3%ADa_de_Control_Moderna.html?id=QK148EPC_m0C&redir_esc=y
http://roberto-mtz.blogspot.mx/