El concepto de interpolación surge, por ejemplo, cuando disponemos de datos que provienen de mediciones experimentales o estadísticos, puesto que queremos determinar la evolución general de estos datos con el objetivo de estimar/predecir los valores que no conocemos.
Por ejemplo, esto ocurre si tenemos partes de una imagen fotográfica y queremos reconstruir la imagen completa. En otras palabras, buscamos una función (llamada función interpolante) que toma valores predeterminados en algunos puntos. Notemos que otra aplicación de la interpolación es la aproximación de funciones dadas.
Aplicaciones :
- Determinar valores “intermedios” de una tabla de datos
- Trazado de curvas atraves de un conjunto discreto de datos
- Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.
- Evaluar de manera facil una función
- Remplaza funciones complicadas por una sencilla
Funciones utilizadas como interpoladores :
- polinomios
- Funcion Trigonométricas
- Funciones Exponenciales
- Funciones Racionales
Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f(xi) = yi) algunas veces se presentan problemas cuando los datos tienen errores significativos
cuando se tiene "incestidumbre en los datos es utili suavisarlos mediante una aproximacion de cuadrados
Polinomio Interpolador
Teorema:
Six0,x1,...,xn son números reales distintos, entonces para N+1 valores
arbitrarios y0 , y1 , . . . , yn existe un unico polinomio PN de grado a lo sumo
N tal que
pN (xi) = yi
En otros términos:
Por dos puntos distintos del plano cartesiano pasa una y solo
una lınea recta (polinomio de grado 1).
Dada una tabla de datos
existe uno y solo un polinomio pN de grado ≤ N tal que pN (xi) = yi
Aunque el polinomio es unico existen varias formas de expresarlo y diferentes algoritmos para determinarlo
Asumimos un conjunto de puntos discretos {x0,x1,··· ,xN} con los valores correspondientes {f(x0),f(x1),··· ,f(xN)}
Construimos una funcion f(x) que pase por (xi,f(xi)) por medio de la aproximacion
pN es el polinomio interpolante
φk son polinomios conocidos a priori y forman una “base”
ak son coeficientes por determinar
la formula expresa a pN como una combinacion lineal de funciones base φk
Consideramos como bases los monomios:
Podemos obtener el polinomio interpolador resolviendo un sistema de ecua- ciones lineales2 . Consideremos n + 1 puntos con abscisas distintas, y sea
Construimos una funcion f(x) que pase por (xi,f(xi)) por medio de la aproximacion
φk son polinomios conocidos a priori y forman una “base”
ak son coeficientes por determinar
la formula expresa a pN como una combinacion lineal de funciones base φk
Consideramos como bases los monomios:
Podemos obtener el polinomio interpolador resolviendo un sistema de ecua- ciones lineales2 . Consideremos n + 1 puntos con abscisas distintas, y sea
se pueden expresar matricialmente como :
V es la matriz de Vandermonde y det(V)
Ejemplo 1
La matriz de coeficientes del sistema se denomina matriz de Vandermonde
asociada a los puntos x0,x1,...,xn. Se trata de una matriz cuadrada de
orden n + 1 con la siguiente estructura
Ejemplo 1
Consideremos la tabla de valores
La matriz de Vandermonde correspondiente a las abscisas
El polinomio interpolador de la tabla es un polinomio de grado ≤ 3
Los coeficientes aj pueden obtenerse resolviendo el sistema
Como solución obtenemos
Como base tomamos los polinomios de Lagrange definidos por:
Interpolación Newton
El polinomio de interpolacion de Newton de forma hacia adelante se puede determinar asumiendo la siguiente forma:
Pn(x)=c0 +c1(x−x0)+c2(x−x0)(x−x1)+···+cn(x−x0)···(x−xn−1) (5.21) donde los coeficientes ck, k = 0, . . . , n se determinan al cumplir con las restricciones Pn(xi) = yi, i = 0, . . . , n. Los coeficientes ck se pueden calcular en terminos de:
Diferencias finitas hacia adelante
Diferencias finitas hacia atras
Diferencias finitas centradas
Codigo:
a0 =4, a1 =−17/6, a2 =−7/2, a3 =7/3.
El polinomio interpolador es, por tanto
En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.
Interpolación Lagrange
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.
Propiedades
Lk es un polinomio de grado N
El polinomio de interpolación de Lagrange esta dado por:
Ejemplo Interpolación de Lagrange:
Determine el polinomio de interpolacion de Lagrange para f(x) = puntos Xo = 2 , X1 = 2.5 , X2 = 4 y utilıcelo para aproximar f(3)
Solución:
Aproximación
El polinomio de interpolacion de Newton de forma hacia adelante se puede determinar asumiendo la siguiente forma:
Pn(x)=c0 +c1(x−x0)+c2(x−x0)(x−x1)+···+cn(x−x0)···(x−xn−1) (5.21) donde los coeficientes ck, k = 0, . . . , n se determinan al cumplir con las restricciones Pn(xi) = yi, i = 0, . . . , n. Los coeficientes ck se pueden calcular en terminos de:
Diferencias finitas hacia adelante
Diferencias finitas hacia atras
Diferencias finitas centradas
Codigo:
Formula de diferencias divididas
Un libro donde viene enseñando sobre Metodos numéricos y Octave
http://softwarelibre.mes.edu.cu/index_html/centro-de-asistencia-tecnica/tutorial/metodos-numericos-con-octave/Metodos%20Numericos%20con%20Octave.pdf
Video de youtube interesante sobre interpolación
http://www.youtube.com/watch?v=0YrlNulNJCU
referencias de donde fue tomada la informacion
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_66.html#SEC310
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/ContribucionesN32001/Ascheri-Pizarro1/pag5.htm
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_12.html#SEC76
http://personales.ya.com/casanchi/mat/interpolacion01.pdf
http://softwarelibre.mes.edu.cu/index_html/centro-de-asistencia-tecnica/tutorial/metodos-numericos-con-octave/Metodos%20Numericos%20con%20Octave.pdf
Video de youtube interesante sobre interpolación
http://www.youtube.com/watch?v=0YrlNulNJCU
referencias de donde fue tomada la informacion
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_66.html#SEC310
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/ContribucionesN32001/Ascheri-Pizarro1/pag5.htm
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_12.html#SEC76
http://personales.ya.com/casanchi/mat/interpolacion01.pdf
