jueves, 22 de noviembre de 2012

Laboratorio 7

Para esta entrada se selecciono el problema del libro de sistemas de control Moderno  Richard C. Dorf & Robert H. Bishop :

Problema :
El diagrama de bloques de un sistema se muestra en la figura ¿ Determinar si el sistema es controlable y observable ?

despues de analizar el diagrama de bloques lo pasamos a matrices de estados:

$$ \dot{x} = \begin{bmatrix} 0& 1\\ 3&-2 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}r\ y= \begin{bmatrix} 3& 1\\ \end{bmatrix}x $$


Solucion
Vamos a resolverlo usando las siguientes formulas:


Observabilidad 

El sistema es observable si la matriz de observabilidad tiene un rango = n y su determinante es diferente de cero.

Controlabilidad

El sistema es controlable si la matriz de controlabilidad tiene un rango máximo

Vamos a usar octave para determinar si es es controlable y observable.

1.- Pasamos las matrices de espacio de estados a matrices en octave
A = [0 1;3 -2]B = [0;1]C = [3 1]
2.-Vamos a usar funciones de octave del paquete control :
-
-
----

Conclusion:
Segun las formulas y los resultados que nos arroja octave determinamos que el sistema es controlable con una determinante de -1 y No es Observable con una determinante de 0



Problema  :



La historia cuenta que un sargento se detenía en una joyería cada mañana a las 9 en punto y ajustaba su reloj comparándolo  con el cronometro del escaparate, un día el sargento entro en el comercio y felicito al dueño por la exactitud del cronometro
y pregunta ¿Esta ajustado con las señales horarias de Arlington?
No, contesto el dueño , lo ajusto según el cañonazo de las 5 del fuerte. Dígame, Sargento 
¿por qué se detienen todos los días y comprueba la hora de su reloj?
El sargento contesto: Yo soy el artillero del fuerte.
¿Es a realimentación predominante en este caso positiva o negativa?
El cronometro del joyero se atrasa tres minutos cada 8 horas
¿ Cuál es el error  total en la hora del cañón del fuerte después de 12 días ?

Solución:

Entonces una ves analizado el enunciado segun lo que dice la redaccion dice  que el cañón dispara en un comienzo exactamente a las 5:00 P.M 
cuenta con un sistema de Positive feedback, entonces Vamos a denotar $\Delta T$ es el tiempo perdido por día y por el error de tiempo vamos a mantener la siguiente relación:

$\Delta t=3 min+\frac{4}{3}=\frac{13}{3} min$ 

Tambien mantenemos esta relación y hacemos la operación :

$E_{T} =12dias * \frac{13}{3} \frac{min}{dia}$

Entonces el error de tiempo segun las relaciones es:

$E_{T} = 52min $



Referencias:
Sistemas de Control Moderno, 10ma edición, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop, PEARSON.


martes, 20 de noviembre de 2012

Proyecto Final de Automatización

  • El reporte 
  • presentación 
  • video 

La liga a la entrada es la siguiente:
http://technolifeandmore.blogspot.mx/2012/11/reporte-proyecto-final-control-de.html
Reporte Grupal
www.rafaellopezgtz.com/presentation.pdf

Proyecto: Control de Velocidad de Motor DC 
Integrantes del equipo:
Juan Carlos Espinosa

Rafael Lopez
Abraham Silva

miércoles, 14 de noviembre de 2012

Laboratorio 6 [ Automatizacion ]


Para esta semana se selecciono un problema del capitulo 11 del libro Ingenieria de control moderna de Ogata:

Vamos a analizar la observabilidad y controlabilidad del sistema:

El problema dice:
Considerar el sistema definido por:

$\begin{bmatrix} \dot{x} _{1}\\ \dot{x} _{2}\\ \dot{x} _{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0& 2 &0 \\ 0& 3 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {x} _{1}\\ {x} _{2}\\ {x} _{3} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 &1\\ 1& 0\\ 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \upsilon_{1} \\ \upsilon_{2}\\ \end{bmatrix} $

$ \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} X_{1}\\ X_{2}\\ X_{3} \end{bmatrix} $

¿El sistema de estado es  completamente controlable y observable por completo? 

¿El sistema tiene una salida realmente controlable ?

Solucion:
Vamos a resolverlo usando Octave utilizaremos la funcion rank que lo que hace es proporcionar una estimación del número de filas linealmente independientes o columnas de una matriz completa.

Despues usaremos las formulas correspondientes 

Observabilidad 

El sistema es observable si la matriz de observabilidad tiene un rango = n y su determinante es diferente de cero.

Controlabilidad

El sistema es controlable si la matriz de controlabilidad tiene un rango máximo

lo primero que haremos sera pasar los valores de la matriz a octave

A = [2 0 0;0 2 0 ;0 3 1];
B = [0 1;1 0;0 1];
C = [1 0 0;0 1 0];
D = [0 0;0 0];

Vamos a hacer los calculos.

rank([B A*B A^2*B])
rank([A'*C' A'^2*C'])
rank([C*B C*A*B C*A^2*B])

Lo que nos da octave:



Conclusion:
  • A partir de las condiciones  obtenidas por  rank() anteriormente y las condiciones de las formulas, entonces concluimos que el sistema  es completamente controlable, pero no al todo observable, 
  • Tiene una salida totalmente controlable la dimension del vector de salida es 2 en el sistema actual . 

Codigo completo: 
Referencias
http://es.wikipedia.org/wiki/Observabilidad
Enlace

martes, 6 de noviembre de 2012

Lectura Cientifica

Se selecciono el documento:
Diseño de un sistema  de vigilancia no convencional basados en redes ZigBee (802.15.4) para realizar un control sobre equipos de video e integración a sistemas [0]

El cual es un documento para una tesis de ingenieria en telecomunicaciones de la escuela politecnica del ejercito en ecuador.

Motivo de Lectura:
Me interesa conocer sobre el proyecto ya que estuve trabajando con ZigBee ya que se utiliza en la  Domótica y se le agrega el control video formando un  sistemas  y la integracion de tarjetas EVK de freescale tiene Impacto en la carrera de ingenieria en software porque se usan conocimientos de Control de sistemas, Computo Integrado, Electronica digital y programacion me interesa emplearlo para un Hogar digital que es un proyecto que tengo en mente .


1-Descripción:

1.1 Componentes 
-Camara ip: Se utilizan cámaras ip con modulos ethernet y wifi utilizando el codec H.264 de alta compresión  
-Sensor de movimiento : Se utilizan cámaras PIR que son dispositivos electrónicos que detectan cambios físicos
Especificaciones técnicas del provedor
Diagrama de bloques del sensor

 
-Tarjetas freescale :Se utilizan para el diseño tarjetas de evaluación EVK :

  Diagrama de bloques:


-Rele:Se utilisa un rele de estado solido AQ-G

-Switch
Se utilisa un Switch de interconexión de redes:


2.-Funcionamiento :
Se necesitan configurar un servidor para configurar las tarjetas EVK y para el Almacenamiento de las imagenes enviadas por las cámaras ip ,Utilizan  una red WSAN para el consumo de energia
Las cámaras serán controladas por Zigbee para que estas puedan enviar imagenes al servidor 

2.1.-Diseño
El sistema de vigilancia consta :

Unidad de control:
Servidor (Zigbee y DVR )

Sensores:
Detectores PIRy Infrarrojos pasivos son sensores muy utilizados para sistemas de vigilancia.

Actuadores:
Modulos zigbee , Switch, y las cámaras ip que son los actuadores de todo el sistema.

Los elementos estan conectados fisicamente y de forma inalámbrica , logicamente utilizan una topologia multipunto y estrella para la red  

El sistema se divide en 3 bloques :
Estacion Sensor:
El sensor de movimiento y una tarjeta SARD actúan en conjunto para la detección si se detecta un evento se envia una señal al coordinador zigbee.

Estacion Central:
Es el servidor encargado de supervisar las cámaras IP grabara las imagenes enviadas por la cámara 

Estacion Remota:
Es el lugar donde se situara la otra tarjeta SARD encargada de controlar las camaras IP 
Conexión SARD y relee AQ-G

Las camaras ip estarán apagadas  los modulos zigbee estarán en modo dormir a excepción del coordinador de la red y el sensor de movimiento que estarán alertan a cualquier cambio se envia una señal a la tarjeta SARD la cual envia una señal a l rele que actúa de switch para suministrar la alimentacion eléctrica . y cuando las camaras IP esten en funcionamiento envían imagenes al servidor cuando se termina el evento el sensor deja de transmitir la señal a la tarjeta SARD y el coordinador al no tener señal deja de enviar informacion a la otra tarjeta y se activa el switch en ese momento se desactivan las camaras IP y el switch de internet    

Conclusion:
Es un sistema que se implementara a un Hogar digital implementando Comunicacion Zigbee y Tarjetas de Freescale para un sistema de vigilancia tiene muchas ventajas ya que disminuye el consumo eléctricos y la memoria Disminuye ya que solo enciende cuando hay eventos implementando un sistema de alarma con vigilancia 

Referencias:
[0]:http://repositorio.espe.edu.ec/bitstream/21000/116/1/T-ESPE-026685.pdf

jueves, 1 de noviembre de 2012

Laboratorio 5

La entrada para esta semana se selecciono un problema del libro de ogata:

Considere la posibilidad de un sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:

$G(s)=\frac{s + 0.5}{s^{3}+s^{2}+1}$

Este es un sistema de fase no minima, Dos de los tres polos en lazo abierto se encuentran en el semiplano derecho del plano s de la siguiente manera:

 Polos en lazo abierto en s = -1.4656

Solucion:

Vamos a comenzar a resolverlo con la funcion de transferencia vamos a usar octave para producir el diagrama de Bode de G(s)  
Codigo:

Codigo:




Se puede Observar que la curva de fase  comienza de 0 º y termina en 180 º

Para verificar qué ángulo de fase se inicia desde 0 º y termina en 180 º, es posible calcular los ángulos G (G0) y G (j) , Vamos a sustituir los valores que fueron dados en la redacción del problema comenzamos sustituyendo en la funcion de transferencia.

 Polos en lazo abierto en s = -1.4656

$G(s)=\frac{s + 0.5}{(5+1.4656)(5-0.2328 -j 0.7926) (5-0.2328 + j 07926)}$

Entonces tenemos :

Lo primero que haremos es ver poque  inicia desde 0º
$\angle G(j0)= \angle0.5 - \angle1.4656 - \angle0.2328-J0.7926 - \angle 0.2328+J.07926$ $ = 0º - 0º -tan^{-1} \frac{0.7926}{0.2328}+tan^{-1} \frac{0.7926}{0.2328}=0º$ 

Ahora vamos a ver porque sale desde 180º:
 $\angle Gj(\infty )=90º - 90º - tan^{-1} \frac{\infty}{-0.2328}-tan ^{-1} \frac{\infty}{-0.2328} $
 $= 90º - 90º + 90º + 90º = 180º$

Referencias:
http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&ved=0CD4QFjAE&url=http%3A%2F%2Fbooks.google.com.mx%2Fbooks%2Fabout%2FIngenier%25C3%25ADa_de_Control_Moderna.html%3Fid%3DQK148EPC_m0C&ei=FPOSULGeH6aE2wXR1YGgCw&usg=AFQjCNFkDoC0PBXR5wx4LgJ6OrOnksApzQ&sig2=6bz4yk7WGMnhgYreOjEamA


martes, 16 de octubre de 2012

LAB 4

Se selecciono el problema 5.10 :

Haciendo referencia al sistema mostrado en la figura 5-84, determinar los valores de K y k tal que el sistema tiene un coeficiente de amortiguamiento de 0,7 y 5 una frecuencia natural no amortiguada  de 4 rad / seg.

http://books.google.com.mx/books/about/Ingenier%C3%ADa_de_Control_Moderna.html?id=QK148EPC_m0C&redir_esc=y


Resolviendolo:

$\frac{C(S)}{R(S)}=\frac{k}{s^{2}+25+Kks+k}$

Se tienen en cuenta que :

Usamos la formula:
$K=\omega^{2} _{n}$

Sustituimos:
$K=4^{2}=16$

desde:

25Wn = 2+Kk

despues donde se obtiene 

$2*0.7*4=2+Kk=2+16k$

2*0.7*4/25=0.2

 el resultado es : =

k= 0.25



http://www.amazon.com/Ingenieria-Control-Moderna-Spanish-Edition/dp/9701700481



martes, 18 de septiembre de 2012

[Lab 3 ] Diagrama de Flujo de Señales


Se selecciono un ejercicio del libro de Ingeniería de control moderna de Ogata 4 Ed. entonces el ejercicio dice que tenemos que obtener la transferencia :

$\frac{y(x)}{x(s)}$
del sistema mostrado a continuación:
Figura 3-92
Vamos a comenzar primero analizamos el sistema y se puede observar que existen 2 caminos entre la entrada y la salida

$\frac{y(x)}{x(s)}$

$p_{1}=\frac{b_{2}}{s^{2}}= \frac{1}{s}\frac{1}{s}b_{2}$

$p_{2}=\frac{b_{1}}{s}=\frac{1}{s}b_{1}$
Ahora determinamos los lazos que existen en el sistema.

$L_{1}=-\frac{a_{1}}{s}$

$L_{2}=-\frac{a_{2}}{s_{2}}$
Se tiene que obtener el determinante Δ ,se realiza una suma:

$\Delta =1-(L_{1}+L_{2})$
se sustituyen las variables en la ecuaciones:

$\Delta =1-(\frac{a_{1}}{s}+\frac{a_{2}}{s_{2}})$

$\Delta =\frac{s^{2}+a_{1}s+a^{2}}{s^{2}}$
Entonces:

$\Delta a_{1}=1 , \Delta a_{2}=1$
Usamos la Fórmula de Mason para obtener y(s)/x(s)

http://elisa.dyndns-web.com/~elisa/teaching/sys/control/flujo.pdf
se obtiene la función de transferencia :

$\frac{y(s)}{x(s)}=\frac{1}{\Delta }(P_{1}\Delta _{1}+P_{2}\Delta_{2})$


 $ \frac{s^{2}+a_{1}s+a^{2}}{s^{2}}$

$\frac{s^{2}+a_{1}s+a^{2}}{s^{2}}\left ( \frac{b_{2} }{s^{2}}+ \frac{b_{1}}{s}\right)$
y se obtiene el resultado:

$\frac {b_{1}s+b_{2}}{s^2+a_{1}s+a_{2}}$
http://elisa.dyndns-web.com/~elisa/teaching/sys/control/flujo.pdf
Ingeniería de Control Moderna - Katsuhiko Ogata

jueves, 6 de septiembre de 2012

Instalar LaTeX en Blogger


\mathbf{L\!\!^{{}_{\scriptstyle A}} \!\!\!\!\!\;\; T\!_{\displaystyle E} \! X} (escrito LaTeX en texto llano) es un sistema de composición de textos, orientado especialmente a la creación de libros, documentos científicos y técnicos que contengan fórmulas matemáticas.
LaTeX está formado por un gran conjunto de macros de TeX, escrito por Leslie Lamport en 1984, con la intención de facilitar el uso del lenguaje de composición tipográfica, \mathbf{T\!_{\displaystyle E} \! X}, creado por Donald Knuth. Es muy utilizado para la composición de artículos académicos, tesis y libros técnicos, dado que la calidad tipográfica de los documentos realizados con LaTeX es comparable a la de una editorial científica de primera línea.

Lo primero que tenemos que hacer es :

Nos vamos a Diseño

Seleccionamos Edicion HTML y vamos a continuar

Pegamos el siguiente codigo despues de <head> se muestra en la imagen


-----------Para Ingresar ecuaciones en latex solo hay que poner "$"

Ejemplo:

$\tan \left ( x \right )$

$\tan \left ( x \right )$

Ejemplo 2
$\dfrac {2x^{2}} {4}$

Laboratorio 2 Problema del libro

Se selecciono el problema Problema B.2.15 

$F(s) =\dfrac {4y^{2}-7y+12} {y\left( y+2\right) \left( y-3\right) }$

Resolviendo con Octave

[R,P,K]=residue(num,den) 
http://roberto-mtz.blogspot.mx/search/label/Automatizaci%C3%B3n%20y%20control%20de%20sistemas%20din%C3%A1micos

Vamos a calcular la descomposición de factores simples del cociente numerador entre el denominador

R = Residuos
P = Polos
K = Cociente

1.-Resolver por fracciones parciales usando Matlab en este caso se uso Octave
----

Sustituimos cada valor obtenido por octave en la ecuación:
   
Mas adelante comprobaremos los resultados 

2.-Transformada inversa de Laplace de F(s)

Para resolverlo usaremos las tablas del libro  Ingeniería de control moderna solo es de sustituir :

$\frac{-2}{y}+{\frac{4.2}{y+2}}+{\frac{1.8}{y-3}}= -2+4.2e^{-2t}+1.8e^{3t}$


Vamos Hacerlo paso por paso:

--------------------------------
$F(s) =\dfrac {4y^{2}-7y+12} {y\left( y+2\right) \left( y-3\right) }$
Se va a descomponer por fracciones parciales

$\dfrac {4y^{2}-7y+12} {y\left( y+2\right) \left( y-3\right) }=\frac{A}{y}+\frac{B}{(y+2)}+\frac{C}{(y-3)}$

Se multiplica cada uno de las fracciones por :

$y(y+2)(y-3)$

El resultado seria:
$y(y+2)(y-3)\left [ \frac{A}{y}+\frac{B}{(y+2)}+\frac{C}{(y-3)}\right ]$

Despues

$A(y+2)(y-3)+By(y-3)+Cy(y+2)=4y2-7y+12$

$A(y^{2}-3y+2y-6)+By^{2}-3By+Cy^{2}+2Cy=4y^{2}-7y+12$

$Ay^{2}-3Ay+2Ay-6A+By^{2}-3By+Cy^{2}+2Cy=4y^{2}-7y+12$

$y^{2}(A+B+C)-Ay-3By+Cy^{2}+2Cy-6A=4y^{2}-7y+12$



Buscamos los valores:

A+B+C=4
-A-3B+2C=-7
-6A=12
A=12/6
A=-2
Por lo que el valor de A vale -2

Multiplicamos para eliminar una variable del sistema de ecuaciones:
3(A+B+C)=3(4)
3A+3B+3C=12
-3A-3B+2C=-7
2A+5C=5
5C=5-2(-2)
C=9/5
Por lo que el valor de C vale 1.8

B=4-C-A
B=4-(1.8)-(-2)
b=4.2
Por lo que el valor de b vale 4.2

Sustituyendo los valores obtenemos los mismos valores que nos dio octave:
A=-2
B=1.8
C=4.2
$F(s) =\frac{-2}{y}+{\frac{4.2}{y+2}}+{\frac{1.8}{y-3}}$

Transformada Inversa de Laplace:

$\frac{-2}{y}+{\frac{4.2}{y+2}}+{\frac{1.8}{y-3}}= -2+4.2e^{-2t}+1.8e^{3t}$

Se uso un Script para Blogger para escribir las ecuaciones enLaTeX realice un tutorial lo pueden encontrar en mi blog es facil de usar.

Referencias.
Ingeniería de Control Moderna:
http://books.google.com.mx/books/about/Ingenier%C3%ADa_de_Control_Moderna.html?id=QK148EPC_m0C&redir_esc=y
http://roberto-mtz.blogspot.mx/

jueves, 23 de agosto de 2012

Interpolación

¿ Que es Interpolación ?
El concepto de interpolación surge, por ejemplo, cuando disponemos de datos que provienen de mediciones experimentales o estadísticos, puesto que queremos determinar la evolución general de estos datos con el objetivo de estimar/predecir los valores que no conocemos. 
Por ejemplo, esto ocurre si tenemos partes de una imagen fotográfica y queremos reconstruir la imagen completa. En otras palabras, buscamos una función (llamada función interpolante) que toma valores predeterminados en algunos puntos. Notemos que otra aplicación de la interpolación es la aproximación de funciones dadas.


Aplicaciones :

  • Determinar valores “intermedios” de una tabla de datos
  • Trazado de curvas atraves de un conjunto discreto de datos
  • Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.
  • Evaluar de manera facil una función
  • Remplaza funciones complicadas por una sencilla
Funciones utilizadas como interpoladores :
  • polinomios
  • Funcion Trigonométricas
  • Funciones Exponenciales
  • Funciones Racionales


Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f(xi) = yi) algunas veces se presentan problemas cuando los datos tienen errores significativos 

cuando se tiene "incestidumbre en los datos es utili suavisarlos mediante una aproximacion de cuadrados 

Polinomio Interpolador

Teorema:
Six0,x1,...,xn son números reales distintos, entonces para N+1 valores arbitrarios y0 , y1 , . . . , yn existe un unico polinomio PN de grado a lo sumo N tal que
pN (xi) = y


En otros términos:
Por dos puntos distintos del plano cartesiano pasa una y solo una lınea recta (polinomio de grado 1). 
Dada una tabla de datos




existe uno y solo un polinomio pN de grado N tal que pN (xi) = y


Aunque el polinomio es unico existen varias formas de expresarlo y diferentes algoritmos para determinarlo

Asumimos un conjunto de puntos discretos {x0,x1,··· ,xN} con los valores correspondientes {f(x0),f(x1),··· ,f(xN)}

Construimos una funcion f(x) que pase por (xi,f(xi)) por medio de la aproximacion


pN es el polinomio interpolante
φk son polinomios conocidos a priori y forman una “base”
ak son coeficientes por determinar
la formula expresa a pN como una combinacion lineal de funciones base φk




Consideramos como bases los monomios:


Podemos obtener el polinomio interpolador resolviendo un sistema de ecua- ciones lineales. Consideremos + 1 puntos con abscisas distintas, y sea


se pueden expresar matricialmente como :
V es la matriz de Vandermonde y det(V)

La matriz de coeficientes del sistema se denomina matriz de Vandermonde asociada a los puntos x0,x1,...,xn. Se trata de una matriz cuadrada de orden n + 1 con la siguiente estructura





Ejemplo 1
Consideremos la tabla de valores 
La matriz de Vandermonde correspondiente a las abscisas

El polinomio interpolador de la tabla es un polinomio de grado 3
 Los coeficientes aj pueden obtenerse resolviendo el sistema



Como solución obtenemos 


a0 =4, a1 =17/6, a2 =7/2, a3 =7/3

El polinomio interpolador es, por tanto


Interpolación Lagrange 

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.


Como base tomamos los polinomios de Lagrange definidos por:

Propiedades
Lk es un polinomio de grado N 

El polinomio de interpolación de Lagrange esta dado por:

Ejemplo Interpolación de Lagrange:
Determine el polinomio de interpolacion de Lagrange para f(x) = puntos  Xo = 2 , X1 = 2.5 , X2 = 4 y utilıcelo para aproximar f(3) 

Solución:

Aproximación




Interpolación Newton


El polinomio de interpolacion de Newton de forma hacia adelante se puede determinar asumiendo la siguiente forma:

Pn(x)=c0 +c1(x−x0)+c2(x−x0)(x−x1)+···+cn(x−x0)···(x−xn−1) (5.21) donde los coeficientes ck, k = 0, . . . , n se determinan al cumplir con las restricciones Pn(xi) = yi, i = 0, . . . , n. Los coeficientes ck se pueden calcular en terminos de:

Diferencias finitas hacia adelante
Diferencias finitas hacia atras
Diferencias finitas centradas

Codigo:
Formula de diferencias divididas








Un libro donde viene enseñando sobre Metodos numéricos y Octave
http://softwarelibre.mes.edu.cu/index_html/centro-de-asistencia-tecnica/tutorial/metodos-numericos-con-octave/Metodos%20Numericos%20con%20Octave.pdf

Video de youtube interesante sobre interpolación
http://www.youtube.com/watch?v=0YrlNulNJCU


referencias de donde fue tomada la informacion
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_66.html#SEC310
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/ContribucionesN32001/Ascheri-Pizarro1/pag5.htm
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_12.html#SEC76
http://personales.ya.com/casanchi/mat/interpolacion01.pdf